Blitzblanke Statistik? Kommentar zur "Studie Zahnreinigung" von geld.de

(openPR) „Ein Drittel der Zahnärzte zocken bei der Zahnreinigung bis zu 180 Euro ab“, vermeldet das Verbraucherportal geld.de in einer Pressemitteilung vom 23.08.2010. Rund 300 Praxen im gesamten Bundesgebiet seien befragt worden, um diese schockierende Neuigkeit zu enthüllen.

Ein Blick auf die veröffentlichten Zahlen lässt ahnen, dass eher die Statistik-Kenntnisse der Verfasser Anlass zur Empörung geben. Für 56 Städte über 100.000 Einwohner und weitere 46 Dörfer mit mindestens 3.500 Einwohnern liegen 273 Befragungsergebnisse vor; veröffentlicht wurden je ein günstigster, ein teuerster und ein Durchschnittspreis. Daraus berechnen wir sofort, dass je Gemeinde im Schnitt 2,67 Praxen befragt wurden. In zwölf Dörfern stimmen alle drei Preise überein – dort war wohl nur ein einziger Zahnarzt zur Auskunft bereit. Aus weiteren 40 Gemeinden stammen ganze zwei Antworten. Der Trick: einfach prüfen, ob sich der Mittelwert aus Mindest- und Höchstpreis vom Mittelwert unterscheidet; Rundungsungenauigkeiten ausgenommen. Nehmen wir an, dass in den verbleibenden Gemeinden mindestens drei Praxen befragt wurden, bleiben lediglich 31 Antworten (noch) ungeklärt. In höchstens so vielen Städten antworteten also mindestens vier Zahnärzte.

Die 5.300-Seelen-Gemeinde Schmiedeberg (Sachsen) liefert uns mindestens drei Datensätze, genau wie Dahlem, die mit knapp 4.200 Einwohnern kleinste Gemeinde in Nordrhein-Westfalen, oder das 7.200 Köpfe zählende Erndtebrück (ebenfalls NRW). Zum Ausgleich für die insgesamt 27 Dörfer mit immerhin drei plus x auskunftsfreudigen Zahnärzten mussten sich die Landeshauptstadt Kiel (237.600 Einwohner) wie auch Berlin (3,4 Mio Einwohner) und elf weitere Städte auf jeweils zwei Dentisten beschränken. Wenn nicht, ganz zufällig, der dritte Berliner Zahnarzt genau den Mittelwert getroffen hätte – statistisch gesehen nicht sonderlich wahrscheinlich. Auf Basis von zwei, vielleicht drei Antworten wird also Berlin zum teuersten Pflaster für Zahnreinigungswillige erklärt. So viel zur Repräsentativität.

Nun sollen ja 34% der Zahnärzte bis zu 180 Euro kassieren. Schauen wir genauer hin. „Bis 180“ heißt hier „80 bis 180 Euro“. Die Daten wurden zur besseren Übersicht in die Klassen „20 bis 49 Euro“, „50 bis 60 Euro“, „61 bis 79 Euro“, „80 bis 110 Euro“ und „über 110 Euro“ eingeteilt. Noch ungleichmäßiger ging es wahrscheinlich nicht. Aber schlichtes Nachzählen fördert zu Tage, dass sich unter den günstigsten Preisen bereits 46 finden, die unter 50 Euro liegen. Wenn man die Orte ignoriert, in denen alle Preise aus einer einzigen Praxis stammen, kommen dazu noch zwei Gemeinden mit Höchstpreisen ebenfalls in der Billig-Klasse. Das ergibt einen Anteil von 17,6% und keineswegs 2%, wie die Verfasser behaupten. Sonst dürften wir unter 273 Preisen nur fünf oder sechs in dieser Kategorie finden.

In der Luxus-Klasse sieht es nicht besser aus. Die Höchstpreise in 16 Gemeinden, also bei 5,9% aller Praxen, liegen über der Schallgrenze von 110 Euro, ganze sechs davon über 120 Euro. Drei der Reibach-Reviere können keine zusätzlichen Wucherpreis-Praxen mehr beherbergen, weil dort vermutlich nur zwei Antworten vorlagen. Hätten die restlichen dreizehn jeweils drei Daten geliefert, wäre es ebenso unmöglich, noch weitere Zahnärzte in der teuersten Preisklasse zu finden. Denn bei bekanntem Mittelwert und zwei weiteren Rohdaten ist der letzte, unbekannte Wert sofort ausgerechnet. Am Rande sei bemerkt, dass in Osnabrück, einer respektablen Kleinstadt mit immerhin 163.500 Einwohnern, mindestens neun Zahnärzte befragt werden mussten, von denen dann acht zwischen 44 und 50 Euro verlangten. Sonst wären ein Höchstpreis von 119 Euro, eine Schnäppchenpolitur zu 44 Euro und ein Mittelwert von 53 Euro rechnerisch nicht möglich. Auch im schon genannten Schmiedeberg müssen ein vierter und ein fünfter befragter Zahnarzt sitzen. Bestenfalls zwei bis drei Zahnreinigungs-Angebote über 110 Euro können sich insgesamt überhaupt noch in den Rohdaten verbergen, damit die Ergebnisse in sich widerspruchsfrei bleiben.

267 Preise, das sind 97,8%, haben wir mit Grundschulmathematik aufgedeckt. Nach wie vor bleiben drei Fünftel der erwarteten 43 bis 45 „Bis-zu-180-Euro“-Abzocker verschollen, wenn es dann tatsächlich 16% von 273 Befragten wären. Wo sind die geblieben? „Da müssen Sie mal die Zahnfee fragen“, zitieren wir, mit Verlaub, die vorliegende „Studie“.


Methodik

Zur Abschätzung der gegebenen Antworten je dargestellter Gemeinde wurde folgendermaßen vorgegangen.

Die Daten stammen aus der Pressemitteilung von geld.de. Stimmen niedrigster und höchster Preis überein, ist davon auszugehen, dass nur eine Praxis befragt wurde.

Liegt der angegebene Durchschnittspreis genau beim gerundeten Durchschnitt +/- 1 Euro Rundungsungenauigkeit der angegebenen Mindest-/Höchstpreise, so gingen wir von zwei Praxen aus. Erstens ist es generell wenig wahrscheinlich, dass ein dritter Preis genau in der Mitte der Preisspanne liegt. Zweitens wird dies noch unwahrscheinlicher dadurch, dass die Verteilung der Preise rechtsschief ist: Ein größerer Teil der Antworten liegt unterhalb des Mittelwerts als darüber.

Sukzessive wurde nun geprüft, ob die nächst größere Zahl an Antworten, abzüglich Mindest- und Höchstpreis und dividiert durch diese Antwortzahl minus zwei, innerhalb der angegebenen Spanne von Mindest- und Höchstpreis liegt. Ist dies nicht der Fall, wurde die Zahl mindestens gegebener Antworten um 1 erhöht.

Beispiel:
In Bremerhaven liegt der Mindestpreis bei 50 Euro, der Höchstpreis bei 100 Euro, als Mittelwert wurden 63 Euro ausgewiesen. 3 x 63 – 100 – 50 ergibt 39 Euro. Der dritte Zahnarzt dürfte also weniger verlangen als der billigste Befragte, was einen Widerspruch erzeugt. Bei vier angenommenen Befragten ergibt sich (4 x 63 – 100 – 50)/2, also 51 Euro. Dies wäre gerade eben noch plausibel. Es würde bedeuten, dass tatsächlich drei von vier Befragten etwa 50 Euro für die Zahnreinigung verlangen und nur einer mit 100 Euro nach oben ausreißt. An diesem Ergebnis wird auch die behauptete Rechtschiefe deutlich.